Contoh soal turunan dan pembahasannya lengkap dari mudah hingga sulit dapat membantu pelajar memahami kalkulus secara bertahap, bukan sekadar menghafalkan rumus. Materi turunan sering terasa rumit karena satu soal dapat menggabungkan aturan pangkat, perkalian, pembagian, fungsi komposisi, hingga penerapannya dalam menentukan gradien, persamaan garis singgung, nilai maksimum, dan minimum.
Kunci menguasai turunan adalah mengenali bentuk fungsi sebelum melakukan perhitungan. Fungsi sederhana seperti (x^5) cukup diselesaikan dengan aturan pangkat, sedangkan bentuk ((2x+1)^4) membutuhkan aturan rantai. Jika bentuk fungsi tidak dikenali sejak awal, kesalahan biasanya muncul meskipun rumus dasarnya sudah dihafal.
Latihan berikut disusun dari soal dasar sampai soal yang membutuhkan beberapa tahap penyelesaian. Pembahasannya dibuat langkah demi langkah agar kamu dapat melihat alasan di balik setiap operasi, sekaligus mempelajari cara memeriksa hasil turunan sebelum melanjutkan ke soal yang lebih sulit.
Pengertian Turunan Fungsi
Turunan adalah konsep matematika yang digunakan untuk mengukur perubahan nilai suatu fungsi terhadap perubahan variabelnya.
Jika suatu fungsi dinyatakan sebagai:
[
y=f(x)
]
maka turunannya dapat ditulis sebagai:
[
f'(x)
]
atau:
[
\frac{dy}{dx}
]
Secara geometris, turunan dapat digunakan untuk menentukan gradien garis singgung pada suatu kurva. Dalam penerapan lain, turunan juga digunakan untuk menentukan laju perubahan, kecepatan sesaat, nilai maksimum-minimum, serta perilaku naik dan turunnya fungsi.
Sebagai contoh:
[
f(x)=x^2
]
Turunannya adalah:
[
f'(x)=2x
]
Jika ingin mengetahui gradien kurva pada (x=3), substitusikan nilai tersebut:
[
f'(3)=2(3)=6
]
Artinya, gradien garis singgung kurva (y=x^2) pada (x=3) adalah 6.
Rumus Dasar Turunan yang Perlu Dikuasai
Sebelum mengerjakan latihan, beberapa aturan berikut perlu dipahami.
Untuk:
[
f(x)=x^n
]
maka:
[
f'(x)=nx^{n-1}
]
Turunan konstanta adalah:
[
\frac{d}{dx}(c)=0
]
Sedangkan:
[
\frac{d}{dx}(ax)=a
]
Beberapa rumus lain yang sering digunakan:
[
\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x
]
[
\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x
]
[
\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x
]
Untuk dua fungsi (u) dan (v), aturan perkalian adalah:
[
(uv)'=u'v+uv'
]
Aturan pembagian:
[
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}
]
Sementara pada fungsi komposisi digunakan aturan rantai:
[
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times\frac{du}{dx}
]
Pemilihan rumus harus menyesuaikan bentuk soal. Karena itu, langkah pertama bukan langsung menurunkan, melainkan mengenali struktur fungsi.
Baca Juga: 15 AI Terbaik untuk Belajar di 2026: Pilihan Gratis dan Berbayar bagi Pelajar dan Mahasiswa
Contoh Soal Turunan Tingkat Mudah
Bagian pertama berfokus pada aturan pangkat dan turunan fungsi aljabar sederhana.
Soal 1
Tentukan turunan dari:
[
f(x)=x^5
]
Jawaban dan Pembahasan:
Gunakan aturan:
[
\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}
]
Maka:
[
f'(x)=5x^4
]
Jadi:
[
\boxed{f'(x)=5x^4}
]
Soal 2
Tentukan turunan:
[
f(x)=4x^3
]
Pembahasan:
[
f'(x)=4(3x^2)
]
[
f'(x)=12x^2
]
Jawaban:
[
\boxed{12x^2}
]
Soal 3
Tentukan turunan:
[
y=6x^4-3x^2+5
]
Pembahasan:
Turunkan setiap suku:
[
\frac{d}{dx}(6x^4)=24x^3
]
[
\frac{d}{dx}(-3x^2)=-6x
]
Konstanta 5 memiliki turunan nol.
Maka:
[
\boxed{y'=24x^3-6x}
]
Soal 4
Jika:
[
f(x)=8x^3+5x-7
]
tentukan (f'(x)).
Pembahasan:
[
f'(x)=24x^2+5
]
Jawaban:
[
\boxed{24x^2+5}
]
Soal 5
Tentukan turunan:
[
y=\frac{1}{x}
]
Ubah menjadi bentuk pangkat:
[
y=x^{-1}
]
Maka:
[
y'=-x^{-2}
]
atau:
[
\boxed{y'=-\frac{1}{x^2}}
]
Soal 6
Tentukan turunan:
[
f(x)=\sqrt{x}
]
Ubah menjadi:
[
f(x)=x^{1/2}
]
Maka:
[
f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}
]
Sehingga:
[
\boxed{f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}
]
Soal 7
Jika:
[
f(x)=3x^5-2x^3+x-9
]
tentukan turunannya.
Pembahasan:
[
f'(x)=15x^4-6x^2+1
]
Jadi:
[
\boxed{15x^4-6x^2+1}
]
Soal 8
Tentukan nilai (f'(2)) jika:
[
f(x)=x^3+2x
]
Turunannya:
[
f'(x)=3x^2+2
]
Substitusikan (x=2):
[
f'(2)=3(2)^2+2
]
[
=12+2
]
[
=14
]
Jawaban:
[
\boxed{14}
]
Contoh Soal Turunan Tingkat Menengah
Pada bagian ini, soal mulai melibatkan fungsi hasil kali, hasil bagi, dan fungsi komposisi.
Soal 9
Tentukan turunan:
[
y=(2x+1)^3
]
Gunakan aturan rantai.
Misalkan:
[
u=2x+1
]
sehingga:
[
y=u^3
]
Turunan terhadap (u):
[
\frac{dy}{du}=3u^2
]
dan:
[
\frac{du}{dx}=2
]
Maka:
[
\frac{dy}{dx}=3u^2(2)
]
[
=6(2x+1)^2
]
Jawaban:
[
\boxed{6(2x+1)^2}
]
Soal 10
Tentukan turunan:
[
y=(3x^2+4)^5
]
Pembahasan:
Turunan fungsi luar:
[
5(3x^2+4)^4
]
Turunan fungsi dalam:
[
6x
]
Sehingga:
[
y'=5(3x^2+4)^4(6x)
]
[
\boxed{y'=30x(3x^2+4)^4}
]
Soal 11
Tentukan turunan:
[
y=(x^2+1)(x+3)
]
Gunakan aturan perkalian.
Misalkan:
[
u=x^2+1
]
[
v=x+3
]
Maka:
[
u'=2x
]
[
v'=1
]
Dengan aturan:
[
y'=u'v+uv'
]
diperoleh:
[
y'=2x(x+3)+(x^2+1)(1)
]
[
=2x^2+6x+x^2+1
]
[
\boxed{y'=3x^2+6x+1}
]
Soal 12
Tentukan turunan:
[
y=(2x-1)(x^2+4)
]
Pembahasan:
[
y'=2(x^2+4)+(2x-1)(2x)
]
[
=2x^2+8+4x^2-2x
]
[
\boxed{y'=6x^2-2x+8}
]
Soal 13
Tentukan turunan:
[
y=\frac{x^2+1}{x}
]
Cara pertama dapat menggunakan aturan pembagian. Namun bentuk ini lebih cepat disederhanakan:
[
y=x+\frac{1}{x}
]
[
y=x+x^{-1}
]
Maka:
[
y'=1-x^{-2}
]
[
\boxed{y'=1-\frac{1}{x^2}}
]
Soal 14
Tentukan turunan:
[
y=\frac{x+1}{x-2}
]
Gunakan aturan pembagian:
[
y'=\frac{(1)(x-2)-(x+1)(1)}{(x-2)^2}
]
[
=\frac{x-2-x-1}{(x-2)^2}
]
[
=\frac{-3}{(x-2)^2}
]
Jawaban:
[
\boxed{y'=-\frac{3}{(x-2)^2}}
]
Soal 15
Tentukan turunan:
[
y=\sqrt{2x+5}
]
Ubah menjadi:
[
y=(2x+5)^{1/2}
]
Dengan aturan rantai:
[
y'=\frac{1}{2}(2x+5)^{-1/2}(2)
]
Sehingga:
[
\boxed{y'=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}}
]
Baca Juga: Cara Menggunakan ChatGPT untuk Belajar di 2026: Tips, Contoh Prompt, dan Etika
Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri
Turunan fungsi trigonometri sering digabungkan dengan aturan perkalian atau rantai.
Soal 16
Tentukan turunan:
[
y=\sin x
]
Jawaban:
[
\boxed{y'=\cos x}
]
Soal 17
Tentukan turunan:
[
y=5\cos x
]
Karena:
[
\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x
]
maka:
[
\boxed{y'=-5\sin x}
]
Soal 18
Tentukan turunan:
[
y=3\sin x+2\cos x
]
Maka:
[
y'=3\cos x-2\sin x
]
Jawaban:
[
\boxed{3\cos x-2\sin x}
]
Soal 19
Tentukan turunan:
[
y=\sin 2x
]
Gunakan aturan rantai.
Turunan (\sin u) adalah:
[
\cos u
]
dan turunan (2x) adalah 2.
Maka:
[
\boxed{y'=2\cos 2x}
]
Soal 20
Tentukan turunan:
[
y=\cos 3x
]
Maka:
[
y'=-\sin 3x(3)
]
Sehingga:
[
\boxed{y'=-3\sin 3x}
]
Soal 21
Tentukan turunan:
[
y=x\sin x
]
Gunakan aturan perkalian:
[
y'=(1)(\sin x)+x(\cos x)
]
Maka:
[
\boxed{y'=\sin x+x\cos x}
]
Soal 22
Tentukan turunan:
[
y=x^2\cos x
]
Gunakan aturan perkalian:
[
y'=(2x)(\cos x)+x^2(-\sin x)
]
Sehingga:
[
\boxed{y'=2x\cos x-x^2\sin x}
]
Contoh Soal Turunan untuk Menentukan Gradien dan Garis Singgung
Salah satu penerapan penting turunan adalah menentukan gradien dan persamaan garis singgung kurva.
Soal 23
Tentukan gradien kurva:
[
y=x^2+3x
]
pada (x=2).
Pembahasan:
Turunkan fungsi:
[
y'=2x+3
]
Substitusikan (x=2):
[
y'(2)=2(2)+3
]
[
=7
]
Jadi gradiennya adalah:
[
\boxed{7}
]
Soal 24
Tentukan gradien kurva:
[
y=x^3-2x
]
pada (x=1).
Turunannya:
[
y'=3x^2-2
]
Maka:
[
y'(1)=3(1)^2-2=1
]
Jawaban:
[
\boxed{1}
]
Soal 25
Tentukan persamaan garis singgung kurva:
[
y=x^2
]
pada titik ketika (x=2).
Pembahasan:
Tentukan koordinat titiknya:
[
y=2^2=4
]
Titik singgung adalah:
[
(2,4)
]
Turunannya:
[
y'=2x
]
Gradien saat (x=2):
[
m=4
]
Gunakan persamaan garis:
[
y-y_1=m(x-x_1)
]
[
y-4=4(x-2)
]
[
y-4=4x-8
]
Sehingga:
[
\boxed{y=4x-4}
]
Soal 26
Tentukan persamaan garis singgung kurva:
[
y=x^2+2x
]
pada (x=1).
Nilai fungsi:
[
y=1^2+2(1)=3
]
Titiknya:
[
(1,3)
]
Turunannya:
[
y'=2x+2
]
Pada (x=1):
[
m=4
]
Persamaan garis:
[
y-3=4(x-1)
]
[
y=4x-1
]
Jawaban:
[
\boxed{y=4x-1}
]
Baca Juga: Cara Membuat Presentasi dengan AI: Rekomendasi Tools, Langkah, dan Contohnya
Contoh Soal Turunan untuk Nilai Maksimum dan Minimum
Turunan juga dapat digunakan untuk mencari titik stasioner dan nilai optimum.
Soal 27
Tentukan titik stasioner fungsi:
[
f(x)=x^2-4x+3
]
Turunannya:
[
f'(x)=2x-4
]
Titik stasioner terjadi ketika:
[
f'(x)=0
]
Maka:
[
2x-4=0
]
[
x=2
]
Nilai fungsi:
[
f(2)=4-8+3=-1
]
Jadi titik stasionernya:
[
\boxed{(2,-1)}
]
Karena koefisien (x^2) positif, titik tersebut merupakan titik minimum.
Soal 28
Tentukan nilai maksimum fungsi:
[
f(x)=-x^2+6x-5
]
Turunannya:
[
f'(x)=-2x+6
]
Tentukan titik stasioner:
[
-2x+6=0
]
[
x=3
]
Substitusikan:
[
f(3)=-(3)^2+6(3)-5
]
[
=-9+18-5
]
[
=4
]
Jadi nilai maksimumnya:
[
\boxed{4}
]
Soal 29
Tentukan titik stasioner fungsi:
[
f(x)=x^3-3x^2
]
Turunannya:
[
f'(x)=3x^2-6x
]
Faktorkan:
[
3x(x-2)=0
]
Maka:
[
x=0
]
atau:
[
x=2
]
Nilai fungsi:
[
f(0)=0
]
[
f(2)=8-12=-4
]
Jadi terdapat titik stasioner:
[
\boxed{(0,0)\text{ dan }(2,-4)}
]
Untuk menentukan jenisnya dapat digunakan turunan kedua.
[
f''(x)=6x-6
]
Pada (x=0):
[
f''(0)=-6
]
Nilai negatif menunjukkan maksimum lokal.
Pada (x=2):
[
f''(2)=6
]
Nilai positif menunjukkan minimum lokal.
Soal 30
Sebuah persegi panjang memiliki panjang (x) dan lebar (10-x). Tentukan nilai (x) agar luasnya maksimum.
Luas:
[
L=x(10-x)
]
[
L=10x-x^2
]
Turunannya:
[
L'=10-2x
]
Untuk maksimum:
[
10-2x=0
]
[
x=5
]
Lebarnya:
[
10-5=5
]
Jadi luas maksimum terjadi saat:
[
\boxed{x=5}
]
Bangun tersebut menjadi persegi berukuran (5\times5).
Contoh Soal Turunan Tingkat Sulit
Bagian berikut menggabungkan beberapa aturan sekaligus.
Soal 31
Tentukan turunan:
[
y=(x^2+1)^4
]
Gunakan aturan rantai:
[
y'=4(x^2+1)^3(2x)
]
Maka:
[
\boxed{y'=8x(x^2+1)^3}
]
Soal 32
Tentukan turunan:
[
y=(2x^3-x)^5
]
Turunan fungsi luar:
[
5(2x^3-x)^4
]
Turunan fungsi dalam:
[
6x^2-1
]
Sehingga:
[
\boxed{y'=5(2x^3-x)^4(6x^2-1)}
]
Soal 33
Tentukan turunan:
[
y=\frac{x^2+3}{x+1}
]
Gunakan aturan pembagian:
[
y'=\frac{(2x)(x+1)-(x^2+3)(1)}{(x+1)^2}
]
Sederhanakan pembilang:
[
2x^2+2x-x^2-3
]
[
=x^2+2x-3
]
Maka:
[
\boxed{y'=\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}}
]
Soal 34
Tentukan turunan:
[
y=(x^2+1)\sin x
]
Gunakan aturan perkalian:
[
y'=2x\sin x+(x^2+1)\cos x
]
Jadi:
[
\boxed{y'=2x\sin x+(x^2+1)\cos x}
]
Soal 35
Tentukan turunan:
[
y=\frac{\sin x}{x}
]
Gunakan aturan pembagian:
[
y'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}
]
Maka:
[
\boxed{y'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}}
]
Soal 36
Tentukan turunan:
[
y=\sqrt{x^2+4x+5}
]
Ubah menjadi:
[
y=(x^2+4x+5)^{1/2}
]
Dengan aturan rantai:
[
y'=\frac{1}{2}(x^2+4x+5)^{-1/2}(2x+4)
]
Sederhanakan:
[
\boxed{y'=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}}
]
Soal 37
Tentukan turunan kedua dari:
[
f(x)=x^4-3x^3+2x
]
Turunan pertama:
[
f'(x)=4x^3-9x^2+2
]
Turunan kedua:
[
f''(x)=12x^2-18x
]
Jadi:
[
\boxed{f''(x)=12x^2-18x}
]
Soal 38
Jika:
[
f(x)=x^3-6x^2+9x
]
tentukan interval fungsi naik dan turun.
Turunan:
[
f'(x)=3x^2-12x+9
]
Faktorkan:
[
f'(x)=3(x^2-4x+3)
]
[
=3(x-1)(x-3)
]
Titik kritisnya:
[
x=1 \text{ dan } x=3
]
Uji tanda:
-
Jika (x<1), (f'(x)>0), sehingga fungsi naik.
-
Jika (1<x<3), (f'(x)<0), sehingga fungsi turun.
-
Jika (x>3), (f'(x)>0), sehingga fungsi naik.
Jadi:
[
\boxed{\text{Naik pada }(-\infty,1)\cup(3,\infty)}
]
dan:
[
\boxed{\text{Turun pada }(1,3)}
]
Baca Juga: 12 Aplikasi AI Terbaik untuk Pelajar dan Mahasiswa di 2026
Cara Menentukan Rumus Turunan yang Harus Digunakan
Kesulitan terbesar dalam mengerjakan turunan sering bukan pada perhitungannya, melainkan menentukan aturan yang sesuai.
Gunakan pola berikut.
-
Jika bentuknya (ax^n), gunakan aturan pangkat.
-
Jika terdapat dua fungsi yang dikalikan, gunakan aturan perkalian.
-
Jika satu fungsi dibagi fungsi lain, gunakan aturan pembagian.
-
Jika terdapat fungsi di dalam fungsi, seperti ((2x+1)^5), gunakan aturan rantai.
-
Jika terdapat sin, cos, atau tan, gunakan rumus turunan trigonometri.
-
Jika diminta gradien, cari turunan lalu substitusikan nilai (x).
-
Jika diminta maksimum atau minimum, tentukan titik ketika (f'(x)=0), kemudian periksa jenis titiknya.
Contoh:
[
y=(3x^2+1)^4
]
Bentuk tersebut bukan sekadar (x^n). Ada fungsi (3x^2+1) di dalam pangkat empat sehingga harus menggunakan aturan rantai.
Kesalahan mengenali bentuk fungsi sering menyebabkan siswa hanya menulis:
[
4(3x^2+1)^3
]
Padahal masih harus dikalikan turunan fungsi dalam, yaitu (6x).
Hasil yang benar:
[
24x(3x^2+1)^3
]
Kesalahan Umum saat Mengerjakan Soal Turunan
Lupa Mengurangi Pangkat
Untuk:
[
x^5
]
turunannya bukan (5x^5), melainkan:
[
5x^4
]
Koefisien berasal dari pangkat lama, sedangkan pangkat baru dikurangi satu.
Menganggap Turunan Konstanta Tetap Sama
Turunan:
[
f(x)=8
]
adalah:
[
f'(x)=0
]
Hal ini karena nilai konstanta tidak berubah terhadap (x).
Lupa Aturan Rantai
Misalnya:
[
y=(2x+3)^4
]
Hasilnya bukan hanya:
[
4(2x+3)^3
]
tetapi:
[
8(2x+3)^3
]
karena harus dikalikan turunan (2x+3), yaitu 2.
Salah Tanda pada Turunan Cosinus
Turunan:
[
\cos x
]
adalah:
[
-\sin x
]
Tanda negatif sering terlupakan ketika soal menggabungkan fungsi aljabar dan trigonometri.
Salah Menggunakan Aturan Perkalian
Turunan:
[
u(x)v(x)
]
bukan:
[
u'(x)v'(x)
]
Rumus yang benar:
[
u'v+uv'
]
Berhenti setelah Menemukan (f'(x)=0)
Dalam soal maksimum atau minimum, memperoleh titik kritis belum tentu menyelesaikan soal.
Nilai (x) tersebut masih perlu disubstitusikan ke fungsi asli untuk menentukan koordinat atau nilai maksimum-minimumnya.
Strategi Belajar Turunan agar Tidak Hanya Menghafal Rumus
Belajar turunan sebaiknya dilakukan berdasarkan tipe soal.
Mulailah dari aturan pangkat hingga dapat dikerjakan tanpa melihat rumus. Setelah itu, lanjutkan ke fungsi perkalian, pembagian, dan komposisi.
Ketika menemui soal baru, biasakan menulis pertanyaan sederhana:
“Fungsi ini bentuknya apa?”
Contoh:
[
(x^2+5)^7
]
Jawabannya adalah fungsi komposisi sehingga aturan rantai diperlukan.
Sedangkan:
[
(x^2+5)(x-1)
]
merupakan perkalian dua fungsi sehingga aturan perkalian lebih tepat.
Kamu juga dapat memeriksa hasil turunan dengan melihat pangkatnya. Jika fungsi awal berupa polinom berderajat 5, turunannya seharusnya memiliki derajat tertinggi 4. Jika hasil masih berderajat 5, kemungkinan terdapat kesalahan.
Untuk soal maksimum dan minimum, buat urutan tetap:
[
f(x)\rightarrow f'(x)\rightarrow f'(x)=0\rightarrow x\rightarrow f(x)
]
Urutan tersebut membantu mencegah langkah penting terlewat.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa rumus dasar turunan fungsi?
Untuk fungsi (f(x)=x^n), turunannya adalah (f'(x)=nx^{n-1}). Rumus tersebut menjadi dasar untuk banyak soal turunan fungsi aljabar.
Kapan aturan rantai digunakan?
Aturan rantai digunakan ketika terdapat fungsi di dalam fungsi, misalnya ((2x+1)^4), (\sqrt{3x+2}), atau (\sin 2x). Turunan fungsi luar harus dikalikan dengan turunan fungsi di dalamnya.
Apa perbedaan turunan pertama dan turunan kedua?
Turunan pertama menunjukkan laju perubahan fungsi dan dapat digunakan untuk menentukan gradien serta interval naik-turun. Turunan kedua merupakan turunan dari turunan pertama dan dapat membantu menentukan jenis titik stasioner serta kecekungan kurva.
Bagaimana cara menentukan nilai maksimum dan minimum menggunakan turunan?
Cari turunan pertama kemudian tentukan nilai (x) ketika (f'(x)=0). Setelah memperoleh titik kritis, gunakan turunan kedua atau perubahan tanda turunan pertama untuk menentukan apakah titik tersebut maksimum atau minimum.
Mengapa turunan penting dipelajari?
Turunan tidak hanya digunakan untuk menyelesaikan soal matematika. Konsepnya digunakan untuk mempelajari laju perubahan, kecepatan, optimasi, gradien, pertumbuhan, hingga berbagai persoalan dalam sains dan ekonomi.
Penutup
Mengerjakan contoh soal turunan dan pembahasannya lengkap dari mudah hingga sulit akan lebih efektif jika setiap soal dipahami berdasarkan bentuk fungsinya. Aturan pangkat menjadi dasar, kemudian berkembang ke aturan perkalian, pembagian, rantai, trigonometri, garis singgung, serta maksimum dan minimum.
Saat latihan, hindari kebiasaan langsung memasukkan rumus tanpa mengenali struktur fungsi. Tentukan terlebih dahulu apakah soal berbentuk polinom, hasil kali, hasil bagi, atau fungsi komposisi. Setelah memperoleh hasil, periksa kembali pangkat, tanda, dan substitusi angkanya.
Kamu dapat mengulang soal yang sama dengan mengganti koefisien atau pangkat untuk membuat variasi latihan sendiri. Semakin terbiasa mengenali pola, semakin cepat pula kamu menentukan metode penyelesaian ketika menemui soal turunan dengan tingkat kesulitan yang lebih tinggi.
